応用数学2 課題 Q & A

Last modified: Fri Dec 8 17:22:44 JST 2006

課題 Q and A

課題 3

octave 操作関連

Q. angle, real, imag とは何ですか．
A: これらの関数に複素数を入力すると，偏角，実部，虚部をとりだせます．

octave: > angle (1+i)   # i は複素数． j でもよい．
ans = 0.78540
octave: > arg (1+j)    # arg でも同じ． 偏角．
ans = 0.78540
octave: > angle (2+i)
ans = 0.46365
octave: > help angle    # オンラインマニュアル 
octave: > real (2+j)    # 実部を取り出す．
ans = 2
octave: > imag (2+j*3)  # 虚部を取り出す．
ans = 3

Q. 振幅スペクトルは abs() ですぐにグラフ化することができましたが，パワースペクトル |C_k|^2 を octave でどう求めたらいいか，よくわかりませんでした．
A. 例で示します．
```
octave: > a = [ 1 2 3 ]
a =

  1  2  3
octave: > b = a .*a     # 演算子の前に . を付けておくと，要素ごとに演算する
b =

  1  4  9
```
C_k は複素数なので注意が必要．掛け算する一方を複素共役としておく．
```
octave:23> a = [ 1+i  2-i  3-2i ]
a =

  1 + 1i  2 - 1i  3 - 2i
octave: > b = a .*conj(a)
b =

   2   5  13
```
パワースペクトルは，振幅スペクトルの2乗なので，別の方法もある．
```
octave: > c = abs(a)  # これが振幅スペクトル
c =

  1.4142  2.2361  3.6056

octave: > c = c .*c
c =

   2.0000   5.0000  13.0000
```

Q. octave で棒グラフは，どうしたら描けますか．
A. 例で示します．

octave: > t = linspace (0, 3, 256);      # 時間軸   
octave: > w = linspace (1, 256, 256);    # 周波数軸 
octave: > a = sin(2*pi*t);               # 時間データ
octave: > b = fft (a);                   # 周波数データ
octave: > plot ( w, abs(b) )             # 振幅スペクトル （線グラフ）
octave: > [xb, yb] = bar (w, b);         # 詳細は help bar として下さい．
octave: > plot(xb, yb)                   # 棒グラフ表示
octave: > plot(yb, xb)                   # 横棒のグラフ

Q. 複数のファイルを作成したはずなのですが，いざレポートを作る段階になってみると，ファイルが壊れていました．
```
原因調査中です．
再現できるようであれば，実行したコマンドの履歴を教えてください．
```

数学関連

パワースペクトルとは何ですか．

各種のスペクトルを求める意味は何ですか．

A. 振幅スペクトル | F(ω）| の2乗です．
   振幅スペクトルは f(t) をフーリエ変換した F(ω) の絶対値です．
   F(ω) はf(t) に含まれる，周波数 ω の成分です．
   グラフに描く場合，横軸がω（実数）で縦軸は F(ω) （複素数） になります．
   そのままだと，3次元中に一本線が漂うことになるので分かりにくい．
   2次元のグラフ2枚で同じことが表現できます．
  |F(ω)|の値が大きい場合， log |F(ω)| をプロットする場合があります．

なぜ振幅スペクトルのグラフは左右対称になるのですか．
スペクトルの対称関係が崩れるようなことはあるのですか．
C_k と C_{-k} は複素共役の関係にあることは分かりましたが，なぜそのような関係にあるのかが理解できません．

C_k が複素共役とならないときはあるのですか．

A. フーリエ変換する信号 f(t) が実数値しかもたない場合は，必ず  C_k と C_{-k} は複素共役になります．
   教科書の数式を追いかけてみてください．

Q. スペクトルがグラフで対称で表せることは何の役に立つのですか．

A .信号 f(t) が実数値しかもたない場合は，C_k と C_{-k} が複素共役になることが分かっているので，
   半分は計算しなくてもよくなります．

Q. 複素フーリエ係数とフーリエ変換はどのように異なるのですか．
```
A. 周期 T を無限大にする以外は同じと思っていいです．
```