Last modified: Mon Jan 12 18:17:56 JST 2009

課題1 補足

octave での三角波，のこぎり波，矩形波の作り方

C言語でこれらの波を作るなら if 文を使って生成するのが自然です． octave では，よりスマートな方法があります．一見分かりにくい方法ですが，以下に紹介します．例として f(t) = |t| （教科書 p.70）を作ってみましょう．

周期2πの関数 f(t) = |t| は次のようにすればできます．
```
octave:1> t = -3*pi: 0.01: 3*pi;  
octave:2> x =  2*pi*abs(t./(2*pi) - round(t./(2*pi) ) );
octave:3> plot(t,x); 
```
しかけは以下のとおり：
```
octave:4> plot(t, t, t, round(t) );
```
round(t) は四捨五入して整数値を求める関数． t と round(t) の差は常に -0.5 と 0.5 の間にある． t が0 から走ると， 0.5 までは差が t だけあり，単調に増加する． 0.5 から 1 までは差（絶対値）が 1-t で，単調に減少する． 1 を越えると，また初めから同じことの繰り返しになる．つまり，この場合，周期は 1．
```
octave:5> plot(t, (t - round(t)) );
```
これがノコギリ波．これに絶対値をとると，三角波になる．
```
octave:6> plot(t, abs(t - round(t)) );
```
上の波の周期Tをみてみよう．ノコギリ波も三角波も周期 T=1 となっている．例えば周期を 2π にしたい場合は，どうしたらいいだろうか． 2倍にしたい分，互いをゆっくり変化させればよいので，
```
octave:7> plot(t, abs(t./(2*pi) - round(t./(2*pi)) ) );
```
とする． t./(2*pi) というのは，ベクトル t の各要素を 2π で割る操作のこと．
```
octave:8> plot(t, abs( 1/2/pi*t  - round( 1/2/pi * t )) );
```
これと同じこと．t はベクトルで，それ以外は単なる数であることに注意したい．
ノコギリ波は±0.5の間を，三角波は0と0.5の間に波がある．つまりノコギリ波の振幅は 0.5，三角波の振幅は 0.25．この振幅の大きさを変えるのは，全体を何倍かすればよい．例えば三角波の振れ幅を1にするには
```
octave:9> plot(t, 2*abs(t - round(t)) );
```
とすればよい．
波を作るには，縦にどれだけずれるか調整しておく必要がある．これは
```
octave:10> plot(t, 2*abs(t - round(t)) .+0.5  );
```
で，縦に0.5シフトする．
横軸も調整しておく必要があれば
```
octave:11> plot(t, 2*abs(  (t-0.1) - round( (t-0.1) ) .+0.5 ) );
```
で，横に0.1シフトする．
例の[-π: t : π] の区間で f(t) = |t| と定義されている周期2πの関数を描くには，縦軸は 0 からπの間で変化し， f(0)=0 であることに注意しておく．
```
octave:12> t = -3*pi: 0.01: 3*pi;  
octave:13> x =  2*pi*abs(t./(2*pi) - round(t./(2*pi) ) );
octave:14> plot(t,x); 
```
これでできた．フーリエ級数と比較してみよう．
```
octave:15> y0 = pi/2*cos(0*t); # 定数ベクトルをつくった
octave:16> y2 = pi/2 - 4/pi*( cos(t) + 1/9*cos(3*t) );
octave:17>  plot (t,x, ";f(t)=|t|;", t, y2, ";fourier2;");
```
図に複数の線を書くと，どれがどれだかわからなくなる．こうやって（;ではさむ;）曲線の意味をグラフに書くことができる．

近似の精度のよさを測ってみる

f(t)=|t| と y2 で，各要素の差がどのくらいあるかを見るには

octave:18> plot(t,x-y2,';error;')

octave:19> y3 = pi/2 - 4/pi*( cos(t) + 1/9*cos(3*t) + 1/25*cos(5*t) );
octave:20> plot(t,x-y2,';error2;',  t, x-y3,';error3;' )

octave:21> y4 = pi/2 - 4/pi*( cos(t) + 1/9*cos(3*t) + 1/25*cos(5*t) + 1/49*cos(7*t) );
octave:22> plot(t,x-y2,';error2;',  t, x-y3,';error3;',  t, x-y4,';error4;' )

octave:23> n2 =  sqrt ( (x-y2)*(x-y2)')
n2 = 1.8880

octave:24> n3 =  sqrt ( (x-y3)*(x-y3)')
n3 = 1.0580
octave:25> n4 =  sqrt ( (x-y4)*(x-y4)')
n4 = 0.69488

矩形波をつくってみる

例だけ示します．

octave:26>  T = 2*pi;  % 周期
octave:27>  A = 0.7;  % 振幅
octave:28>  s=abs(t./T-floor(t./T+0.5));
octave:29>  x=0.5.*A.*(sign(0.25-s)+1.0);
octave:30> axis ([-10,10, -0.3, 1]);
octave:31> plot(t,x)

octave を使った計算の補足

octave:32> (-1)^7
ans = -1

octave:33> y2(2)
ans = 2.9854

octave:34> size(y2)
ans =  1  1885

課題1 補足

octave での三角波，のこぎり波，矩形波の作り方

近似の精度のよさを測ってみる

矩形波をつくってみる

octave を使った計算の補足

そのほか