課題6

目的

まずは画像のフーリエ変換というものを体験し，画像（2次元の信号）も2次元の正弦波の重ね合わせで表現できることを知る．

準備

フーリエ変換したい画像をあらかじめダウンロードしておく．
画像の例 lena mandrill
ここではカラー画像は使わないので，分析したい画像がカラー画像の場合は
```
% convert -colorspace gray hoge0.jpg hoge1.png
```
としてグレイスケール（256値）の画像に変換しておく． convert コマンドで，画像のフォーマットをいろいろ変換できる．このコマンドはいろいろなことができるので一度 man convert としてマニュアルを読むとよい．
画像ファイルは display コマンドで見ることができる．
```
% display hoge1.png
```
フーリエ変換する画像は縦横のピクセル数が等しい画像のほうが都合がいいので，そうなっていない場合は，convert コマンドを使って画像を正方形にしておく．
```
%convert -geometry 128x128!  hoge3.jpg hoge4.png
```

調べてみること

2次元の正弦波とはどういうものか．

例

画像を読み込み，フーリエ変換してみる．

原画像（レナ）	→	振幅スペクトル
	→

＃より後ろはコメントなので入力する必要はない．

octave: > lena = imread( 'lena.png' );  # 画像の読み込み
octave: > colormap( gray( 256 ) );      # おまじない． グレイスケールの画像という意味． 
octave: > image( lena );                # 画像を表示．
octave: > LENA = fft2( lena );          # 2次元フーリエ変換
octave: > disp = log ( fftshift( abs(LENA) ) );  # 振幅スペクトルを取り出し，対数をとる．
octave: > lmin = min( disp(:) ); 
octave: > lmax = max( disp(:) );
octave: > imagesc( disp, [lmin lmax ] )

上記，右のような振幅スペクトルが表示されれば OK．

fftshift だとかは，後でゆっくり考えることにすればよい．
この振幅スペクトルに何の意味があるか．それが問題ではある．この図の読み方を知ろう．

正弦波の画像その1 正弦波の画像その2 正弦波の画像その3
どんな画像でも，こういう縞模様の画像（基底画像，基底ベクトル）に分解して（近似的に）表現することができます．まさにフーリエ級数の2次元版です．基底ベクトルの縞模様には，いろいろな周期と方向をもつものがあります．方向は，水平方向の周期と垂直方向の周期の関係なので，結局，各基底ベクトルは2つの周期というパラメータを持ちます．その二つのパラメータが，振幅スペクトルを描いた図の横軸と縦軸です．

縞模様を作成する．

octave: > x = [0 : 0.05 : 6.35];
octave: > y= sin( 10 * x );
octave: > o = ones( 128, 1 );
octave: > m = o * y;
octave: > imagesc( m, [-1 1] );

出現した画像はキーボードの「q」を押せば消せます．

原画像 → 振幅スペクトル

→

2次元フーリエ変換をおこなう．

octave: > M = fft2( m );          # 2次元フーリエ変換
octave: > disp = fftshift( abs(M) ) ;  # 振幅スペクトルを取り出す．
octave: > imagesc( disp )

この縞模様の振幅スペクトルは，ただ2点かならなることがわかります．中心部分が定収は成分です．最初に示した女性の画像のスペクトルをもう一度見てみましょう．いろいろな周波数成分が含まれています．ただし，低周波成分の重みが大きいということもわかります．

低周波だけ通すフィルターをかけて，逆フーリエ変換して画像をみよう．

octave: > size( LENA )
ans =

  256  256
octave: > G( 1:256, 1:256 ) = 0;
octave: > G( 128-32:128+31, 128-32:128+31 ) = 1;
octave: >  imagesc( G, [0 1] )

白いところだけ信号を通す．

低周波だけ通すフィルター	通す周波数領域	再構成した画像

octave: > G = fftshift( G);
octave: > LENA2 = LENA .* G;
octave: > disp = log( abs( fftshift( LENA2 ) ) );
octave: > imagesc( disp, [lmin lmax ] )
octave: > lena2 = real( ifft2( LENA2 ) );
octave: > image( lena2 )

再構成された画像は高周波成分が無いので，ずいぶんとボケて見えるが，低周波成分だけで，元の絵が何だかはよくわかる．通過させる周波数領域の形を変えてみると，いろいろ面白いことがわかるかもしれない．

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例

そのほか