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応用数学2

押えるべき点

1. 式の意味・考え方が大切． 計算が重要なわけではない．
2. 基礎： どんな波形も正弦波の重み付け和で表現できる！？ 正弦波，その振幅，周期，位相．
3. 各楽器で弾いた「ド」「レ」「ミ」． 「ド」とは？，「トランペットの音色」とは？ 音の波形の共通点．
   
4. 周期信号． 楽器音，音声の波形を，0.2秒間程度見ると，ある部分波形の繰り返し．基本周期
5. 音の波形は，時間領域，周波数領域で表現できる： 同じ実体に対する，二つの表現．
6. 関数の直交性． 正規直交関数系とは．ベクトルと関数は，ほぼ同じ！？
7. 関数の内積． 内積→ノルムを定義．

暗唱するならこれ 『...』

• 話は線形代数

  ・『フーリエ級数，複素フーリエ級数，フーリエ変換．この3つは本質的に同じ．』
  ・『関数とベクトルは，ほぼ同じ．\( f(t) \) vs \( \vec{f} \) 』
  

• cos, sin

  ・ 周期，基本周期．
  ・ f(t) 関数，信号，波形，いろんな言葉を使うが，違いがあるわけではない．
  ・ cos t, sin 2t などを正弦波という．余弦波とはよばない．
  ・ cos で表現できるものは sin でも表現できる．同じ波形を表現するのに複数の表現の仕方がある．
  ・ cos (2t +θ) と cos (2t) のグラフの違い．
  ・ cos (2t +θ) は cos (2t) を単に横方向にずらしたもの．→ 位相θは，基本周期には関係ない．
  ・『基本周期が T である正弦波を足し合わせる．位相や振幅は違っていてよい．100波形でも，1000波形でも，周期が T であればいくら足しあわせてもよい → 基本周期 T の正弦波』
  

• 関数とベクトル

  ・ 関数≒ベクトル． ⇒ 既にベクトルで習っている内積，距離などという概念が，関数でも定義できる．
  ・『波形（信号，関数）をベクトルとみる』 → 『内積を定義』→ 『角度や長さが求まる』
  ・『正規直交系で表現すると，各基底に対する成分は内積を使い求まる』

• 複素数のかけ算

  偏角は足す．二つの長さをかける．

• オイラーの公式だけは覚える：『 \(e^{j\theta}=\cos\theta+j\sin\theta\) 』
• 基底ベクトル

  『信号（関数）を各基底関数（ベクトル）に分解して線形結合で表現する』
  → どう分解するのがよいか
  → 後の処理がやりやすいように分解する
  → 後の処理がやりやすいとは？
  ・ 信号をインパルスに分解する
  ・ 信号を正弦波に分解する
  ↑ それぞれ利点と欠点がある．これを押さえておく
  

• 『フーリエ変換は1対1の変換』
• 複素フーリエ級係数とフーリエ変換 F(ω)

  ・ 『 \( C_{-k} = C_k \) の複素共役』 ⇒ 実数部は同じ．虚数部の符号が反転．
  ・ F(-ω） も ↑ と同じ性質をもつ．
  

• 線形時不変システム ・ 『正弦波を入力すると同じ周期の正弦波が出力される．』
  → 位相と，振幅は入力信号とは異なる信号が出力される
  

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