速修確率統計

宮崎大学 >> 工学部 >> 情報システム工学科 >> 伊達 >>
Last modified: Thu Sep 28 19:53:02 JST 2006

速修確率統計

医者の藪野竹庵氏は自分のところへくる患者について

$A: \left\{ \begin{array}{ll} A_1: & \mbox{熱がある} \\ A_2: & \mbox{熱がない} \end{array}\right.$

$B: \left\{ \begin{array}{ll} B_1: & \mbox{風邪を引いている} \\ B_2: & \mbox{風邪ではない} \end{array}\right.$

の2種類の事象の割合を調べた．これらの事象を組み合わせると， 4通りの複合事象ができる．事象の起こる割合は次表のようであった．この割合は，事象の確率であると思ってさしつかえない．

	（風邪）	（風邪なし）
（熱あり）	0.55	0.05	0.60
（熱なし）	0.10	0.30	0.40
	0.65	0.35

この表からわかるように，熱があるかないかを知ってしまえば，風邪であるかないかはほぼ検討がつく．必要な確率の知識を整理しておこう．確率分布として次のものを考える．

$\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}{ll} \mbox{同時確率分布:} & p(A_i, B_j) ... ...分布:} & p(B_j \vert A_i), p(A_i \vert B_j) \end{array}\right. \end{displaymath}$

のように，

と

とが組になって同時に起こる確率を示すものを，同時確率分布と呼ぶ．そのうちの一方だけに着目した確率分布

や

は，上の表を行または列について加え合わせると出てくる．この

や

は，表の周辺に並んでいるので，周辺分布と呼ぶ．条件付確率分布 $p (B_j \vert A_i)$ とは

に関する事象が

であったときの

の確率である． $p (A_i \vert B_j)$ は逆に

が

であることがわかっているときの

の確率である．これらの間には次の関係が成立する．

$\begin{displaymath} \sum_{i,j} p(A_i, B_j) = 1, ~\sum_{i} p(A_i) = \sum_{j} p(B_j) = 1 \end{displaymath}$

(1)

$\begin{displaymath} \sum_{j} p(B_j \vert A_i) = \sum_{i} p(A_i \vert B_j) = 1 \end{displaymath}$

(2)

$\begin{displaymath} p(A_i) = \sum_{j} p(A_i, B_j), ~p(B_j) = \sum_{i} p(A_i, B_j) \end{displaymath}$

(3)

$\begin{displaymath} p(A_i, B_j) = p(A_i)p(B_j \vert A_i) = p(B_j) p(A_i \vert B_j) \end{displaymath}$

(4)

$\begin{displaymath} p(B_j \vert A_i ) = \frac{P(B_j)P(A_i \vert B_j)}{p(A_i)} = \frac{P(A_i, B_j)}{p(A_i)} \end{displaymath}$

(5)

$\begin{displaymath} p(A_i \vert B_j ) = \frac{P(A_i)P(B_j \vert A_i)}{p(B_j)} = \frac{P(A_i, B_j)}{p(B_j)} \end{displaymath}$

(6)

式(4)は，

と

との同時確率は，

の確率に

が起こるという条件下での

の起こる確率を掛けたものであることを示す．式(5,6)はBayesの公式と呼ばれるもので，式(4)から導き出せる．

と

が確率的に独立な場合（風邪と熱が無関係の場合）には

$\begin{displaymath} p(A_i, B_j) = p(A_i) p(B_j) \end{displaymath}$

(7)

$\begin{displaymath} p(B_j \vert A_i) = p(B_j), p(A_i \vert B_j) = p(A_i), \end{displaymath}$

(8)

という式が成立する．

宮崎大学 >> 工学部 >> 情報システム工学科 >> 伊達 >>

速修 確率統計

速修確率統計