速修正規分布

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Last modified: Thu May 29 15:49:50 JST 2014

速修正規分布

「 $X_1, X_2, \cdots. X_{1000}$ を平均 $\mu$ , 分散 $\sigma^2$ の互いに独立なガウス分布にしたがう確率変数とする」というような表現がよく使われる．この文の意味，特に，「互いに独立」，「ガウス分布」，「平均」，「分散」，「確率変数」などの概念について，簡単な例を通して，直感的に理解できるようになっておこう．平均 $\mu$ ，分散 $\sigma^2$ の正規分布の確率密度は次のように表せる．

$\begin{displaymath} p(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^2}} \exp \left\{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma ^2} \right\} \end{displaymath}$

(1)

$x' = (x-\mu)/\sigma$ と変換すれば，

は平均

，分散

の正規分布にしたがう（逆に言うと，

をもとに $x = \sigma x' + \mu$ を生成すれば平均 $\mu$ ，分散 $\sigma^2$ の正規分布にしたがうデータが得られる）．これを標準正規分布という．正規分布はガウス分布とも呼ばれ，以下のような形をしている．

**図 1:** 平均，分散の正規分布の確率密度
$\includegraphics[width=.5\linewidth]{gauss001.eps}$

「 $X_1, X_2, \cdots. X_{1000}$ を平均 , 分散の互いに独立なガウス分布にしたがう確率変数とする」というような表現を理解しよう．独立というのは例えば「の値はの値とは無関係に定まる」といったことである．また上の図では分布の広がりを $\sigma$ と書いてあるが，これは標準偏差と呼ばれている量であり，分散は，その2乗， $\sigma^2$ の事である．あまり深く考えず，分布の広がり（幅の大きさ）と思っていい．正規分布にしたがっていれば，この1000個の確率変数の実現値 $x_i, i=1,\cdots,1000$ のうち約 $68.26\%$ がに含まれている．その根拠は

$\begin{displaymath} \int_{-1}^{1} p(x) dx = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-1}^{1} \exp \left\{ -\frac{x^2}{2} \right\} dx = 0.6826 \end{displaymath}$

(2)

という計算である．同じ様に，実現値のうち95.44%が

の区間に, $99.74\%$ が

の区間に含まれているはずである．また

という値はめったにでないが，そのようなことがおこる確率は0ではない．おこりう事すべてを足しあわせた確率は

$\begin{displaymath} \int_{-\infty}^{\infty} p(x) dx = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \i... ...-\infty}^{\infty} \exp \left\{ -\frac{x^2}{2} \right\} dx = 1 \end{displaymath}$

(3)

となる．

は確率密度関数であって確率ではない．上記の計算からもわかるように，標準正規分布にしたがうデータを1つとってきたとき，その値

が，

にある確率が $\Phi (b) - \Phi (a)$ と計算できる．ここで

$\begin{displaymath} \Phi (x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{x} \exp \left\{ -\frac{t^2}{2} \right\} dt \end{displaymath}$

(4)

であり，ほとんどの確率・統計の教科書にこの関数の具体的な値が掲載されている．

irl_gauss.c

#include 
#include  /* for srand48(), drand48() */
#include    /* for sqrt(), log() */

double nrand();

/*   一様分布 drand48() を使い標準正規分布に従うデータを出力する関数  */
double nrand(){

    static int sw=0;
    static double r1,r2,s; 
    
    if (sw==0){
        sw=1;
        do {
            r1=2.0*drand48()-1.0;
            r2=2.0*drand48()-1.0;
            s=r1*r1+r2*r2;
        } while (s>1.0 || s==0.0);
        s=sqrt(-2.0*log(s)/s);
        return(r1*s);
    }
    else {
        sw=0;
        return(r2*s);
    }
}


int main(){

    int i;
    int seed = 1234567; /* 乱数の種 */
    double x; 
    
    srand48( seed ); 
    
    for (i=0; i<1000; i++){ x = nrand();
        printf("%.5lf\n",x);
    }
}

% gcc irl_gauss.c -lm 
% ./a.out > data001

とすれば標準正規分布から1000個の乱数がとりだせる．ヒストグラムを書いて確かめてみる．

% octave
octave:1> load data001
octave:2> hist(data001, 20)    # 20 の部分を大きい値にすると分布がより細かくみえる．

eps ファイルとして出力するには：

octave:3> print -depsc2 hoge.eps # print の使い方は help print

とすれば図がeps ファイルとして出力されるので，

% evince hoge.eps   # 分布を見る

で確認できる．

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