授業の概要

応用数学２ 第1回 2004年12月2日 14:50〜16:20

講義名：応用数学２
日程：月，木の週２回． 教室：B-102

この授業では、フーリエ級数，フーリエ変換，ラプラス変換の基本概念や 論理構造，およびその応用を学ぶ．

自己紹介

評価

期末のテストによって成績をつける．

日程

15回

目標

• 工学的な視点からみて面白い，もしくは役に立つことの講義をおこなう． 数学者になるための人向けの講義ではないので， 数学的に面白い事でも結果だけを簡単に紹介することが多い． それよりは，現実に，どう活かされているのか，いくのかを紹介する．
• いろいろでてくる疑問に対し，それなりに自分自身で納得のいく回答をみつける
• 何が面白いのか
• 何の役に立つのか．
• なぜわざわざこういうことをやるのか．
• どの内容も，式変形による代数的な理解より， 図形的なイメージを描けるものは， 幾何学的な理解の仕方を講義では示していく． 試験では，主に計算問題を出題するが， 計算間違いはよくあることなので， 採点は上記のようなことを理解しているかどうかを重視したい．

全体像

• フーリエ解析とは何か．
  • 関数もしくは信号を f(x)とか f(t) と書く． x とか t は，この講義では1次元． f(t) を時間 t の関数だと思って音声信号のようなものをイメージすればいい． x が2次元になると f(x) は画像．
  • フーリエ級数：単振動の重ね合わせで信号を表現する．
  • --> 様々な周期の sin, cos の重みづけ和で信号が表現できる
  • 周期的とは．
  • オイラーの公式
  • 複素フーリエ級数
  • 周期 -> ∞ と考えれば，フーリエ変換
  • 時間軸表示 <--> 周波数表示
  • フーリエ変換の例

講義の進め方

• 教科書 （7,9,10章は時間の関係でおそらくできない）：
  • 第1章 フーリエ級数： すべての基礎
  • 第2章 収束定理 ★： どういう関数なら収束するか，についての説明のみ．
  • 第3章 デルタ関数： 必要な部分のみ．
  • 第4章 フーリエ変換
  • 第5章 ラプラス変換
  • 第6章 線形常微分方程式の解放
  • 第8章 線形システムの解析： 面白くて為になる． 先にやるかもしれない．

他の科目との関係

• 線形代数
• 関数 f(x) または 信号 f(t) を要素が無限個のベクトルだと思えば，線形代数の話．
• 固有値 --> 固有関数，ベクトルの大きさ --> ノルム
• 基底ベクトルとの内積により基底ベクトル方向の成分を抽出 --> フーリエ係数
• 「直交：内積=0」という概念も一般化できる．
• 線形システム
• 制御工学
• 情報理論
• 確率論
• 信号処理

キーワード

• 基底
• 直交
• 重ね合せの原理
• 情報の表現の仕方
• 信号（音声，画像）
• スペクトル

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