フーリエ級数(その2)

応用数学２ 第3回 2004年12月9日 14:50〜16:20

1.2 フーリエ級数

1.3 フーリエ級数の計算例

1.4 フーリエ級数の例

1.6 複素フーリエ級数

1.2 フーリエ級数

• フーリエ係数の意味
• a_n は f(x) の cos nx 成分
• b_n は f(x) の sin nx 成分
• 基底は 1,cos x, cos 2x, ..., sin x, sin 2x, ...

1.3 フーリエ級数の計算例

• 周期 2πの関数 f(x) = x
• --> このフーリエ級数は sin 項しかない．なんでか．
• --> 奇関数だから．

演習

• 問1: sinπt の T を求めよ．（図も書いてみる）
• ー> T=2.
• 問2: 周期 2πの関数 f(x) = 1, -1 < π < 0, 0 --> このフーリエ級数は奇関数ではないが sin 項と定数項しかない．なぜか．
• --> f(x) - 1/2 が奇関数．
• ※ a_n, n=1,2,.. は 0 だけれど，a_0 は別に計算する必要がある．
• フーリエ級数は sin と cos の重ね合わせと説明してきたが，それだけだと1周期で平均が 0となる信号しか表現できない． sin, cos の重ね合わせに，ある定数を加えることにより，どんな平均値をもつ信号も 表現できるようになる． cos 0 = 1 なので，定数は cos 項と言えないこともないが... それが a_0/2． なんで 1/2 がついているかというと， a_n の公式をそのまま当てはめればいいからで (cos 0 = 1)， 教科書のスペースを節約しているにすぎない． コンパクトに記述しようとした結果である．

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