フーリエ級数(その3)
応用数学２ 第4回 2004年12月13日 13:00〜14:30
1.3 フーリエ級数の計算例
1.4 フーリエ級数の例
1.9 フーリエ係数の意味 （教科書には書いていない内容）
1.6 複素フーリエ級数
1.3 フーリエ級数の計算例
- 前回の課題の解答
- 奇関数ではないが f(x) は sin 項だけで表現できた．なぜか．
- 実は f(x) - 1/2 a_0 が奇関数．
- つまり 1/2 a_0 は f(x) の平均値を示している．
- --> 教科書では簡潔に表現したいため cos0=1 という
性質を使って，平均値（直流成分ともいう）の項と cos nx の係数を
まとめて a_n = ... と表現しているが，実は a_0 は cos 項ではない！
- 前回の課題で扱ったグラフを x 軸に少しずらすとどうなるか
- --> 少し横にずらしただけで，個々のフーリエ係数は
ガラッと変わる．
- --> sin nx, cos nx を使った f(x) の表現の仕方がまったく異なる．
- --> グラフ（関数）の形は同じなのに，係数の値がまったく違っては意味
がないのでは？ 何のためにフーリエ係数を計算するのか？
- --> 個々の係数とは別に，なにか不変な量はないだろうか？
- 実は a_n^2 + b_n^2 が，関数の形が同じであれば，位置がずれても不変な量になっている．
1.9 フーリエ係数の意味
- a_n cos nx + b_n sin nx は A sin (nx + Θ) と表現することもできる．
- --> A^2 = a_n^2 + b_n^2
- --> a_n^2 + b_n^2 を計算することにより，どの周期の変動成分が大きいか分かる．
- a_n 偶数関数成分，b_n 奇関数成分．
- 区分的なめらかな周期関数は cos nx と sin nx の重みつき和で
表現でき，その表現の仕方はただ一通りにきまる．
-
--> このことからも周期関数は偶数関数と奇関数の和で表現できることが分かる．
1.6 複素フーリエ級数
- 準備
- 複素数
- a + i b
- i 虚数単位 i^2=-1
- a - i b を a + i b の複素共役という
- オイラーの式： exp {iΘ} = cos Θ + i sin Θ
- その効用の例
- exp {iΘ} exp {iΦ} = exp｛i(Θ＋Φ) }
- --> 高校生のときに苦しんで暗記した公式が導き出せる！