フーリエ級数(その4)

応用数学２ 第5回 2004年12月16日 14:50〜16:20

1.6 複素フーリエ級数

• 前回の話から：
  • a_n cos nx + b_n sin nx は A sin (nx + Θ) と表現することもできる．
  • --> (a_n, b_n) という二つのパラメータを使い f(x) はフーリエ級数展開できるが， 振幅と位相という二つのパラメータを使っても同じことが表現できるのではないか！
• 複素フーリエ級数
  • オイラーの式： exp {inx} = cos nx + i sin nx, exp {-inx} = cos nx - i sin nx
  を使って，フーリエ係数 a_n, b_n と c_n との対応関係を示す．
  • 複素フーリエ級数の基底
    • { ..., exp{-i2x}, exp{-ix}, 1, exp{ix}, exp{i2x}, ...}
  • 内積の定義
• 複素フーリエ級数の計算例（その1）： f(x) = x
• 複素フーリエ級数の計算例（その２）： f(x) = cos kx, k は整数
• αが複素数でも実数かのように微分の計算はできる： d/dx exp{αx} = α exp{αx}

• 演習
• 問1: 基底 exp{inx} と exp{imx}， n,m は整数，が区間 -π< x <π で直交していることを示す．
• 複素数関数の内積は，片方の関数の複素共役をとる必要がある
• なぜか？ --> 内積 ( exp{inx}, exp{inx} ) ，つまり 関数 exp {inx}, -π < x <π, の絶対値（ノルム）がどうなるか考えてみる．
• --> 大きさなので，正の実数でないと不都合．
• 問2: 複素フーリエ級数の計算： f(x) = x^2
• k を整数とすると，一般に，exp{ikx} の πから-πの積分は 0 になる． オイラーの公式にしたがい，cos, sin に分解して計算しても，もちろん答えは 同じですが，手間がかかる．この積分の式の見ただけで 0 としたい．

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