フーリエ変換(その1)：周期関数から非周期関数へ
応用数学２ 第6回 2004年12月20日 13:00〜14:30
1.6 複素フーリエ級数
1.8 パーセバルの等式
2.1 収束定理
3.1 デルタ関数
4 フーリエ変換
- 前回の演習の話から：
- 問1: 基底 exp{inx} と exp{imx}，n≠,m はともに整数，が区間
-π< x <π で直交していることを示せ．
- 内積をとるとき，片方の関数の複素共役をとらなかった人が多かった．
- 複素関数の内積 ( exp{inx}, exp{inx} ) では、 ，片方は複素共役をとるべし．
なぜか．自分自身との内積を考えてみる．
例えば、関数 exp {inx}, -π < x <π, の絶対値（ノルム）がどうなるか考えてみる．
- → 大きさなので，正の実数でないと不都合．
- → 一方の関数の複素共役をとるのは、距離の2乗（自分自身との内積）が負の値にならないようにするため．
- 問2: 複素フーリエ級数の計算： f(x) = x^2
- 教科書に載っている公式にしたがって計算するせいか，c_0 を忘
れている人が多くいた．
f(x) = x の複素フーリエ係数では f(x)=x は -π< x <π では平均値 0 であっ
たが，
f(x)= x^2 の場合，正の値しかとらないので，平均値（c_0 項） は残る．
c_n の n=0 の場合を無視したケアレスミスではあるが，前の問題にも同じこと
はあったので注意したい．
1.6 複素フーリエ級数
- 複素フーリエ級数の意味
- c_n × exp{inx} の（複素数×複素数）の無限個の和が実数 f(x) になっている．
- そもそも exp{inx} = cos nx + i sin nx に複素数 c_n を掛けることはどういう意味があるのか．
- → 実は振幅を |c_n| 倍して 位相を Θ＝ arg (c_n) だけ進めている．
- → ここで Θ = arg (c_n) は c_n = a + ib とすると，tan b/a = Θ を
満たすΘのこと．
- → つまり，c_n × exp{inx} は |c| exp{i(nx+arg c_n)}．
- それぞれの c_n は 基本周期 2π/n の周波数成分の位相と振幅の大きさを示している．
- c_n と c_{-n) は共役関係にあり，したがって和をとると虚数成分はキャンセルされる．
1.8 パーセバルの等式
- 何を意味しているのか．→ cos, sin の完全性．
- 完全性とは： 基底としてある直交関数系をとったとする．
今の場合，1, cos nx, sin nx, n は正の整数である．
ここで，ある関数 f(x) がすべての基底関数と直交するのが，
f(x)=0 だけのとき，この直交関数系は完全であるという．
2.1 収束定理
- 収束とは．
- 収束条件： f(x), f'(x) がともに区分的なめらか．
- 区分的なめらかとは：
片側微分係数がいたるところで存在し，∞にならない．
- 図1-4 の上二つ： 区分的なめらかではない例
3.1 デルタ関数
- デルタ関数δ(x)とは．x=0 に面積1が集中した関数．
- 深く考えるとおかしな関数ではあるが，ここではあまり深く考えない．
- δ(x) = 0, x≠0
- ∫δ(x) dx = 1． ここで積分区間は ─ε から ＋ε． ε は ε>0 を満
たす任意の実数.
- 以下の表現はこれからよく使う：
- ∫f(x)δ(x) dx = f(0) ．
- ∫f(x)δ(x-x_0) dt = f(x_0) ．
4 フーリエ変換
- 今までは表現したい関数（信号）の周期が２πであると仮定してきたが，
これからは周期的でないものを扱いたい．
→ どうするればいいか． → 周期 Ｔ＝∞と考えればいいのではないか．
- 復習： cos x は基本周期2π． → cos {2πx/T} は基本周期Ｔ．
- → cos {2πnx/T}, sin {2πnx/T} を使って関数を表現し，Ｔを∞にする．